José Mata Economia da Empresa
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Incentivos: dedução algébrica

Escrevamos o lucro da empresa $ \Pi$ como a diferença entre a produção $ Q$ e o salário pago $ I$.

$\displaystyle \Pi = Q - I$ (1)

A quantidade produzida é proporcional ao esforço dispendido $ e$

$\displaystyle Q = \alpha e$ (2)

O salário do trabalhador tem uma parte fixa $ W$ e uma parte que varia com o esforço do trabalhador, podendo ser escrito como

$\displaystyle I = W + \beta e.$ (3)

O lucro pode pois ser escrito como

$\displaystyle \Pi = \alpha e - W - \beta e$ (4)

sendo o problema da empresa a escolha do nível de $ \beta$ e de $ W$ que lhe maximizam o lucro. O primeiro passo consiste na determinação no nível óptimo de esforço. Derivando $ \Pi$ em ordem a $ e$ e igualando a zero resulta

$\displaystyle \alpha = \beta.$ (5)

A utilidade do trabalhador varia positivamente com o salário que recebe e negativamente com o esforço que dispende $ e$. Admitamos que o esforço tem para o trabalhador um custo cada vez maior e que a utilidade pode ser escrita como

$\displaystyle U = I - \gamma e^2$ (6)

$\displaystyle I = U + \gamma e^2$ (7)

Para satisfazer a restrição de que o trabalhador quer aceitar o contrato proposto escolhemos o ponto em que a tangente a esta curva tem o mesmo declive da recta do salário.

$\displaystyle {dI \over de} = 2 \gamma e = \beta$ (8)

de onde resulta

$\displaystyle e^* = {\beta \over 2 \gamma}.$ (9)

Para um dado nível de utilidade mínimo $ U$ o salário óptimo será

$\displaystyle I^* = U + {\beta^2 \over 2 \gamma}.$ (10)


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